数学分析（上册）

前辅文

绪论

第一章实数

§1 集合与映射

集合, 关系与映射, Descartes 乘积, 函数, 集合的势, 可数集, 不可数集, 代数数, 超越数, Bernstein 定理

§2 第一次数学危机

第一次数学危机, 可公度量, 比例论

§3 实数公理系统

自然数公理, 数学归纳法, 实数公理系统, 实数系, 有序域的性质, 三角不等式, Newton 二项展开式, 杨辉三角,广义实数系, 区间, 单调函数, 复数域, 周期函数

§4 实数系的构造

实数系的构造, Dedekind 分割, 稠密性, 上确界存在定理, 有理数, 无理数, 实数的十进制表示, n 次方根, 算术几何平均不等式, 指数函数的定义, 对数函数的定义

§5 附录

构造实数系的其他典型方法, 实数系的唯一性, 序同构,实数系构造的Cantor 方法

第二章序列极限

§1 数列极限

数列极限, 无穷级数, 无穷乘积, 数列极限的性质, 夹逼准则

§2 无穷大量, 无穷小量, Stolz 公式

无穷大量, 无穷小量, 小o, 大O, 等价, 同阶, 不定型,Stolz−Ces′aro 定理

§3 Euclid 空间中的基本概念

线性空间, 赋范线性空间, 度量空间, Euclid 距离, 平行四边形法则, 范数, 内点, 邻域, 外点, 边界点, 聚点, 开集, 闭集, 闭包, 稠密, 无处稠密集/疏朗集, 内积空间

§4 Euclid 空间中的基本定理

确界存在定理, 单调收敛定理, 自然对数, 常数e, 闭区间套定理, 聚点原则, 致密性定理, 基本列, Cauchy 准则, 调和级数, 有限覆盖定理, Loewner 偏序, 对角线法,闭集套定理, 局部, 紧集, 完备性, 列紧集, 相对紧集, 准紧集, Euler 常数, Lebesgue 数, Lebesgue 覆盖定理

§5 上､下极限

上极限, 下极限, Stolz 公式的推广

§6 正项级数

正项级数, 正项级数收敛的基本定理, 比较判别法,Cauchy 判别法, D’Alembert 判别法, Raabe 判别法,收敛得更慢与发散得更慢的级数

§7 任意项级数

任意项级数, 绝对收敛, 条件收敛, Abel 变换, Abel 判别法, Dirichlet 判别法, 交错级数, Leibniz 判别法, 幂级数,幂级数的收敛半径, Cauchy−Hadamard 公式, Cauchy乘积, Mertens 定理, 级数的重排, 累级数, 无穷乘积的收敛性

第三章函数极限与连续

§1 函数极限

函数极限, 单侧极限, 函数极限的基本性质, Heine 定理,基本定理的对应结果, 重要数列极限的对应结果, 关于极限limx→0sin xx

§2 连续函数

连续函数, 左连续, 右连续, 连续函数的四则运算, 复合函数的连续性, 基本初等函数的连续性, 反函数的连续性, 紧集上逆映射的连续性, 间断点, 一些重要的极限,ex 的无穷级数表示

§3 连续函数的基本性质

道路, 连通集, 区域, 拓扑学视角下的连续性, 相对开集,相对闭集, 介值定理, 最值定理, 连续函数的有界性, 一致连续性, Rn 中范数的等价性, 代数基本定理, 不动点,压缩映射原理, 摄动法, 利用极限定义指数函数和对数函数

§4 方向极限与累次极限

曲线, 方向极限, 沿曲线的极限, 累次极限, 多重极限

第四章导数与微分

§1 导数与微分

导数的几何物理背景, 一元向量值函数的导数, 左导数,右导数, 导数与单调性, 方向导数与偏导数, 全导数, 微分, 线性变换/线性算子, 微商, 梯度, 导数的四则运算

§2 反函数､复合函数和隐函数的导数

一元实函数反函数的可导性及求导公式, 复合函数的导数, 链式法则, 一阶微分形式的不变性, 隐函数求导, 基本初等函数的导数, 对数求导法

§3 高阶导数

高阶导数, Leibniz 公式, 微分算子D, Ck,Ck,α 函数类, 光滑函数, Hölder 条件, Lipschitz 条件, 多重指标,多重零点

§4 复指数函数､正弦函数和余弦函数

用级数定义复指数函数, 用微分方程定义正弦和余弦函数, Euler 公式

第五章不定积分

§1 不定积分

原函数, 不定积分, 恰当方程

§2 变量代换法

第一类变量代换, 第二类变量代换, 万能代换

§3 分部积分法

§4 有理函数不定积分

有理函数, 最简分式

§5 求解简单的常微分方程

常微分方程, 特解, 通解, 分离变量法, 初值问题, 解的最大存在区间, 一阶线性方程, 常数变易法, 积分因子法,全微分方程, 齐次方程, Bernoulli 方程

第六章微分中值定理和Taylor 展开式

§1 微分中值定理

Fermat 引理, Rolle 中值定理, Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理, 微分Darboux 定理, 凸集, 常微分方程初值问题解的唯一性

§2 L’Hˆopital 法则

L’Hˆopital 法则及其推广, 极限计算中的化简—— “去核” 与“去皮”

§3 凸函数

凸(凹) 函数, Jensen 不等式, 割线斜率与凸性, 凸性与连续性, 中点凸(凹) 函数, 凸性与一阶导数, 支撑线(面),凸性与二阶导数, Hesse 矩阵, 对偶数, Young 不等式,离散Hölder 不等式, 离散Minkowski 不等式, 幂平均不等式, 调和平均

§4 微分Darboux 定理与比较定理

微分不等式, 常微分方程比较定理, 偏微分方程比较定理

§5 Taylor 多项式与插值多项式

Taylor 多项式, 带Peano 型余项的Taylor 公式,Maclaurin 展开式, Taylor 展开式的唯一性, 带Lagrange型余项的Taylor 公式, Lagrange 型插值多项式, 线性方程组解的线性可加性, Runge 现象, 插值多项式的误差估计, 插值多项式, 插值函数, 函数拟合, 广义中值定理

§6 Taylor 展开式的计算及应用

Taylor 展开式计算的直接方法和间接方法, 利用Taylor展开式计算反函数的高阶导数, 利用Taylor 展开式计算隐函数的高阶导数, Landau 不等式, Taylor 展开式在组合问题上的应用

第七章微分问题

§1 隐函数存在定理

隐函数存在定理, 曲面的切平面, 法向量

§2 极值问题

强制条件, 极值问题, 无条件极值, 一阶必要条件, 驻点, 二阶必要条件, 最小二乘法, 线性拟合, 条件极值,Lagrange 乘子法, 矩阵的诱导范数

§3 常系数线性微分方程

一阶常系数线性微分方程组, 矩阵指数函数, 高阶常系数线性微分方程, 特征方程, 算子法

§4 导数的其他应用

Newton 切线法, 平方收敛, 平面曲线的曲率与曲率半径, 一元实函数的草图, 拐点

参考文献

索引

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