高等微积分

译者序

前言

预备知识

集合与函数

实数的域公理

实数的正性公理

第1章 分析的工具

1.1 完备性公理和它的某些推论

1.2 整数与有理数的分布

1.3 不等式与恒等式

第2章 收敛序列

2.1 序列的收敛

2.2 序列与集合

2.3 单调收敛定理

2.4 列紧定理

2.5 集合的覆盖性质

第3章 连续函数

3.1 连续性

3.2 极值定理

3.3 介值定理

3.4 一致连续性

3.5 连续性的ε－δ占准则

3.6 象与逆象；单调函数

3.7 极限

第4章 微分法

4.1 导数代数

4.2 求反函数与复合函数的微分

4.3 中值定理及其几何推论

4.4 柯西中值定理及其解析推论

4.5 莱布尼茨记号

第5章 作为微分方程解的初等函数

5.1 微分方程的解

5.2 自然对数函数与指数函数

5.3 三角函数

5.4 反三角函数

第6章 积分法：两个基本定理

6.1 达布和；上积分与下积分

6.2 阿基米德一黎曼定理

6.3 可加性、单调性及线性性

6.4 连续性与可积性

6.5 第一基本定理：对导数求积分

6.6 第二基本定理：对积分求导数

第7章 积分法：更深入的主题

7.1 微分方程的解

7.2 分部积分法与换元法

7.3 达布和与黎曼和的收敛性

7.4 积分的近似法

第8章 泰勒多项武逼近

8.1 泰勒多项式

8.2 拉格朗日余项定理

8.3 泰勒多项式的收敛性

8.4 对数函数的幂级数

8.5 柯西积分余项定理

8.6 一个无穷次可微的非解析函数

8.7 魏尔斯特拉斯逼近定理

第9章 函数序列与级数

9.1 序列与数级数

9.2 函数序列的逐点收敛

9.3 函数序列的一致收敛

9.4 函数序列的一致极限

9.5 幂级数

9.6 一个无处可微的连续函数

第10章 欧几里得空间Rn

10.1 Rn的线性结构与内积

10.2 Rn中序列的收敛性

10.3 Rn中的开集与闭集

第11章 连续性、紧性及连通性

11.1 连续函数和连续映射

11.2 列紧性、极值和一致连续性

11.3 顺向连通性与介值定理

11.4 连通性与介值性质

第12章 度量空间

12.1 开集、闭集及序列的收敛性

12.2 完备性与压缩映射原理

12.3 非线性微分方程的存在性定理

12.4 度量空间之间的连续映射

12.5 列紧性与连通性

第13章 多元函数的微分

13.1 极限

13.2 偏导数

13.3 中值定理与方向导数

第14章 实值函数的局部逼近

14.1 一阶逼近、切平面和仿射函数

14.2 二次函数、黑塞矩阵和二阶导数

14.3 二阶逼近和二阶导数检验

第15章 用线性映射逼近非线性映射

15.1 线性映射和矩阵

15.2 导数矩阵和微分

15.3 链式法则

第16章 象和逆象：反函数定理

16.1 一元函数与平面上的映射

16.2 非线性映射的稳定性

16.3 极小化原理与一般反函数定理

第17章 隐函数定理及其应用

17.1 两个未知元的标量方程的解：迪尼定理

17.2 一般隐函数定理

17.3 R3中的曲面方程和路径

17.4 约束极值问题和拉格朗日乘子

第18章 多元函数的积分

18.1 广义矩形上函数的积分

18.2 连续性与可积性

18.3 若尔当域上函数的积分

第19章 累次积分与变量替换

19.1 富比尼定理

19.2 变量替换定理的陈述和例子

19.3 变量替换定理的证明

第20章 曲线积分和曲面积分

20.1 弧长和曲线积分

20.2 曲面面积和曲面积分

20.3 格林公式和斯托克斯积分公式

附录A 域公理和正性公理的推论

附录B 线性代数

索引

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