数值分析

方法　214

4.4.2　带非线性系数的模型　217

第5章　数值微分和数值积分　224

5.1　数值微分　224

5.1.1　有限差分公式　224

5.1.2　舍入误差　228

5.1.3　外推　230

5.1.4　符号微分法和符号积分法　232

5.2　数值积分的Newton-cotes公式　235

5.2.1　梯形法则　236

5.2.2　Simpson法则　237

5.2.3　复合Newton-Cotes公式　240

5.2.4　开Newton-Cotes方法　242

5.3　Romberg积分　245

5.4　自适应求积　249

5.5　Gauss求积　253

第6章　常微分方程　261

6.1　初值问题　261

6.1.1　Euler方法　263

6.1.2　解的存在性、唯一性和连续性　268

6.1.3　一阶线性方程　271

6.2　初值问题解法分析　273

6.2.1　局部截断误差和整体截断误差　273

6.2.2　显式梯形方法　277

6.2.3　Taylor方法　280

6.3　常微分方程组　282

6.3.1　高阶方程　284

6.3.2　计算机模拟：摆　285

6.3.3　计算机模拟：轨道力学　289

6.4　Runge-Kutta方法及其应用　294

6.4.1　Runge-Kutta族　294

6.4.2　计算机模拟：Hodgkin-Huxley神经元　297

6.4.3　计算机模拟：Lorenz方程　299

6.5　变步长方法　305

6.5.1　嵌入Runge-Kutta对　305

6.5.2　4/5阶方法　307

6.6　隐式方法和刚性方程　312

6.7　多步方法　316

6.7.1　生成多步方法　316

6.7.2　显式多步方法　319

6.7.3　隐式多步方法　322

第7章　边值问题　328

7.1　打靶法　328

7.1.1　边值问题的解　328

7.1.2　打靶法的实现　332

7.2　有限差分方法　337

7.2.1　线性边值问题　337

7.2.2　非线性边值问题　340

7.3　配置法与有限元法　345

7.3.1　配置法　346

7.3.2　有限元和Galerkin方法　348

第8章　偏微分方程　355

8.1　抛物型偏微分方程　355

8.1.1　前向差分方法　356

8.1.2　前向差分方法的稳定性分析　360

8.1.3　后向差分方法　362

8.1.4　Crank-Nicolson方法　364

8.2　双曲型方程　370

8.2.1　波动方程　370

8.2.2　CFL条件　373

8.3　椭圆型方程　376

8.3.1　椭圆型方程的有限差分方法　377

8.3.2　椭圆型方程的有限元方法　385

第9章　随机数及其应用　397

9.1　随机数　397

9.1.1　伪随机数　398

9.1.2　指数随机数和正态随机数　403

9.2　蒙特卡罗模拟　405

9.2.1　蒙特卡罗估计的幂定律　406

9.2.2　拟随机数　407

9.3　离散布朗运动和连续布朗运动　412

9.3.1　随机游动　412

9.3.2　连续布朗运动　414

9.4　随机微分方程　417

9.4.1　将噪声引入微分方程　417

9.4.2　随机微分方程的数值方法　420

第10章　三角插值和快速Fourier变换　431

10.1　Fourier变换　431

10.1.1　复算术　432

10.1.2　离散Fourier变换　434

10.1.3　快速Fourier变换　436

10.2　三角插值　439

10.2.1　DFT插值定理　439

10.2.2　三角函数的有效求值　443

10.3　FFT和信号处理　447

10.3.1　正交性和插值　447

10.3.2　用三角函数进行最小二乘拟合　449

10.3.3　声音、噪声和过滤　453

第11章　压缩　459

11.1　离散余弦变换　459

11.1.1　一维离散余弦变换　460

11.1.2　DCT和最小二乘逼近　462

11.2　二维DCT和图像压缩　465

11.2.1　二维DCT　465

11.2.2　图像压缩　469

11.2.3　量化　471

11.3　Hu?man编码　478

11.3.1　信息论和编码　479

11.3.2　JPEG格式的Hu?man编码　481

11.4　改进的DCT和音频压缩　485

11.4.1　MDCT　485

11.4.2　位的量化　491

第12章　特征值和奇异值　497

12.1　幂迭代方法　497

12.1.1　幂迭代　498

12.1.2　幂迭代的收敛性　500

12.1.3　逆幂迭代　501

12.1.4　Rayleigh商迭代　503

12.2　QR算法　505

12.2.1　同时迭代　505

12.2.2　实Schur形式和QR算法　509

12.2.3　上Hessenberg形式　511

12.3　奇异值分解　519

12.3.1　一般情况下求SVD　522

12.3.2　特殊情形：对称矩阵　523

12.4　SVD的应用　525

12.4.1　SVD的性质　525

12.4.2　降维　526

12.4.3　压缩　528

12.4.4　计算SVD　529

第13章　最优化　533

13.1　没有导数的无约束最优化　534

13.1.1　黄金分割探索　534

13.1.2　连续抛物线插值法　537

13.1.3　Nelder-Mead搜索　540

13.2　带导数的无约束最优化　543

13.2.1　牛顿法　543

13.2.2　最速下降法　545

13.2.3　共轭梯度法　546

附录A　矩阵代数　551

附录B　MATLAB简介　556

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