工科数学分析基础（下册）

第五章 多元函数微分学及其应用

第一节 n维Euclid空间Rn中点集的初步知识

1.1 n维Euclid空间Rn

1.2 Rn中点列的极限

1.3 Rn中的开集与闭集

1.4 Rn中的紧集与区域

习题5.1

第二节 多元函数的极限与连续性

2.1 多元函数的概念

2.2 多元函数的极限与连续性

2.3 多元连续函数的性质

习题5.2

第三节 多元数量值函数的导数与微分

3.1 方向导数与偏导数

3.2 全微分

3.3 梯度及其与方向导数的关系

3.4 高阶偏导数和高阶全微分

3.5 多元复合函数的偏导数和全微分

3.6 由一个方程确定的隐函数的微分法

习题5.3

第四节 多元函数的Taylor公式与极值问题

4.1 多元函数的Taylor公式

4.2 无约束极值、最大值与最小值

4.3 有约束极值，Lagrange乘数法

习题5.4

第五节 多元向量值函数的导数与微分

5.1 一元向量值函数的导数与微分

5.2 二元向量值函数的导数与微分

5.3 微分运算法则

5.4 由方程组所确定的隐函数的微分法

习题5.5

第六节 多元函数微分学在几何上的简单应用

6.1 空间曲线的切线与法平面

6.2 弧长

6.3 曲面的切平面与法线

习题5.6

第七节 空间曲线的曲率与挠率

7.1 Frenet标架

7.2 曲率

7.3 挠率

7.4 Frenet公式

习题5.7

综合练习题

第六章 多元函数积分学及其应用

第一节 多元数量值函数积分的概念与性质

1.1 物体质量的计算

1.2 多元数量值函数积分的概念

1.3 积分存在的条件和性质

习题6.1

第二节 二重积分的计算

2.1 二重积分的几何意义

2.2 直角坐标系下二重积分的计算法

2.3 极坐标系下二重积分的计算法

2.4 曲线坐标下二重积分的计算法

习题6.2

第三节 三重积分的计算

3.1 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分

3.2 柱面与球面坐标下三重积分的计算法

习题6.3

第四节 重积分的应用

4.1 重积分的微元法

4.2 应用举例

习题6.4

第五节 含参变量的积分与反常重积分

5.1 含参变量的积分

5.2 含参变量的反常积分

5.3 反常重积分

习题6.5

第六节 第一型线积分与面积分

6.1 第一型线积分

6.2 第一型面积分

习题6.6

第七节 第二型线积分与面积分

7.1 场的概念

7.2 第二型线积分

7.3 第二型面积分

习题6.7

第八节 各种积分的联系及其在场论中的应用

8.1 Green公式

8.2 平面线积分与路径无关的条件

8.3 Stokes公式与旋度

8.4 Gauss公式与散度

8.5 几种重要的特殊向量场

习题6.8

综合练习题

第七章 常微分方程

第一节 常微分方程的基本知识

1.1 微分方程与微分方程组

1.2 微分方程组及其解的几何解释

习题7.1

第二节 线性微分方程组

2.1 齐次线性微分方程组

2.2 非齐次线性微分方程组

习题7.2

第三节 常系数线性微分方程组

3.1 常系数齐次线性微分方程组的求解

3.2 常系数非齐次线性微分方程组的求解

习题7.3

第四节 高阶线性微分方程

4.1 高阶线性微分方程解的结构

4.2 高阶常系数线性微分方程的求解

4.3 高阶变系数线性微分方程的求解问题

习题7.4

第五节 微分方程的定性分析方法初步

5.1 自治系统与非自治系统

5.2 稳定性的基本概念

5.3 线性自治系统平衡位置稳定性的判别法

5.4 非线性自治系统平衡位置稳定性的判别法

5.5 应用举例

习题7.5

综合练习题

第八章 无限维分析入门

第一节 从有限维空间到无限维空间

1.1 多维空间概念的现实基础

1.2 为什么要研究无限维空间

1.3 数学中空间概念的含义

第二节 赋范线性空间与压缩映射原理

2.1 内积空间

2.2 赋范线性空间

2.3 赋范线性空间的收敛性与点集性质

2.4 空间的完备性

2.5 压缩映射原理及其应用

习题8.2

第三节 Lebesgue积分与Lp([a，6])空间

3.1 从R积分到L积分

3.2 点集的Lebesgue测度与可测函数

3.3 Lebesgue积分

3.4 Lp([a，6])空间

习题8.3

第四节 Hilbert空间与最佳逼近问题

4.1 正交投影与正交分解

4.2 最佳逼近问题

4.3 Hilbert空间的正交系与FOUrier展开

4.4 L2([-π，-π])空间的Fourier展开与最佳均方逼近

习题8.4

习题答案与提示

参考文献

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