巴拿赫空间引论

目 录

《现代数学基础丛书》序

第二版前言

第一版前言

第一章 赋范线性空间的基本概念 1

1.1 赋范线性空间的基本特性 1

附录 有限维赋准范空间的一些性质 12

1.2 Banach空间的定义及例 14

1.3 空间的可分性 29

1.4 商空间与积空间 39

1.5 赋范线性空间的等价与完备化 48

附录 空间(c0)和(c)的不等价性 56

1.6 （非赋范的）赋准（拟）范空间的例子 57

第二章 线性算子的基本概念 64

2.1 线性算子（泛函）的定义及例 64

2.2 有界线性算子空间与全连续算子 80

2.3 共轭空间的定义及例（某些常用空间上有界线性泛函的表现形式） 93

附录 空间（砌的共轭空间） 111

2.4 白反空间与共轭算子的概念 115

第三章 有界线性泛函的存在定理 126

3.1 线性泛雨的（保控）延拓定理 126

附录 无穷维赋范空间上不连续线性泛函的存在 139

3.2 线性簇、凸集、次凸泛函与Minkowski泛函 141

3.3 分隔性定理 155

3.4 最佳逼近的存在性 163

3.5 自反空间的一些特性 179

附录 可分赋范空间E之矿单位球的“术弱”可分性 188

3.6 一致空间与严格空间 189

附录1 严格凸但行一致凸空间的例子 201

附录2 空间的万有性 203

第四章 共鸣定理 208

4.1 完备空间中的共鸣定理 208

4.2 完备空间中的共鸣定理 220

附录 Baire空间 238

4.3 共鸣定理的一些应用 240

4.4 第一纲的赋范线性空间 248

4.5 元列的弱收敛与强收敛 258

4.6 关于拟次加泛函的有限性 273

第五章 开映像定理与闭图像定理 289

5.1 闭线性算子 289

5.2 开映像定理与闭图像定理 297

5.3 闭图像定理与Banach逆算子定理的一些应用 309

5.4 逆算子与的存在性 315

附录 有界线性算子与其的值域与零点集的关系 321

第六章 抽象函数简介 324

6.1 抽象函数的连续性与囿变性 324

6.2 抽象函数的可导性与Riemann积分 332

6.3 实抽象观测函数 347

6.4 实可测函数的Pettis积分与Bochner积分 353

6.5 复变数的抽象解析函数 370

第七章 Banach空间的基 379

7.1 基与基序列的存在性 379

7.2 基的等价与扰动 403

7.3 Banach空间的无祭件基 412

7.4 可分Banach空间不具有无条件基的例子 432

第八章 Banach空间的几何（结构）理论 439

8.1 可补子空间的概念及基本性质 439

8.2 分赋范空间与空间及的关联 453

8.3 Bishop-Phelps定理 457

8.4 James扭曲定理 464

8.5 关于两空间的最小内同构问题即（一等距算子用等距算子逼近的问题） 478

8.6 Mazur-Ulam定理 488

8.7 光滑空间与一致光滑空间 498

第九章 Banach代数简介 521

9.1 Banach代数的定义及例 521

9.2 Banach代数的同构 529

9.3 正则元、幻、极大幻与根基 533

9.4 豫解元、谱和广义幂零元 545

9.5 在交换Banach代数中的极大幻 555

9.6 半单纯可交换代数中代数结构与拓扑结构的关系 564

习题提示 570

参考文献 598

附录 关于拓扑线性空间的一些基本性质 613

《现代数学基础丛书》出版书目

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