高等微积分（第3版修订版）
内容简介
本书以初等函数为重点，介绍了微积分相关的内容，包括微分、积分、无穷级数、傅里叶展开和勒贝格积分等9章内容. 作者采用讲义式的叙述方式，把数学看成有生命的东西，让读者有一种别样的新鲜感.
本书是一本经典的微积分教材，原版被日本各大学普遍采用，适合数学专业及其他各理工科专业高年级本科生和低年级研究生用作教材或参考书.
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作者简介
日本数学家，被誉为日本现代数学第一人。他于1903年获理学博士学位，次年任东京帝国大学教授。1920年，他完全解决了虚二次数域上的克罗内克猜想， 使得类域论取得巨大突破。他于1925年当选为帝国学士院会员（在日本这是最高的终生荣誉学衔），于1932年当选为国际数学家大会主席及第一届费尔兹奖 评委会成员，于1940年获得日本最高科学荣誉文化勋章。除本书外，他还著有多本大学教材、专著、中小学教科书及各种普及读物。
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目录
第1 章 基本概念 1
1 数的概念 1
2 数的连续性 2
3 数的集合 上确界 下确界 3
4 数列的极限 5
5 区间套法 9
6 收敛条件与柯西判别法 11
7 聚点 13
8 函数 16
9 关于连续变量的极限 20
10 连续函数 23
11 连续函数的性质 26
12 区域 边界 28
习题 32
第2 章 微分 34
13 微分与导函数 34
14 微分法则 36
15 复合函数的微分 38
16 反函数的微分法则 41
17 指数函数和对数函数 45
18 导函数的性质 47
19 高阶微分法则 51
20 凸函数 52
21 偏微分 53
22 可微性与全微分 55
23 微分的顺序 56
24 高阶全微分 59
25 泰勒公式 61
26 极大极小 67
27 切线和曲率 74
习题 85
第3 章 积分 88
28 古代求积方法 88
29 微分发明之后的求积方法 90
30 定积分 93
31 定积分的性质 99
32 积分函数, 原函数 102
33 积分定义扩展(广义积分) 106
34 积分变量的变换 114
35 乘积的积分(分部积分或分式积分) 116
36 勒让德球函数 123
37 不定积分计算 126
38 定积分的近似计算 130
39 有界变差函数 133
40 曲线的长度 136
41 线积分 141
习题 144
第4 章 无穷级数与一致收敛 148
42 无穷级数 148
43 绝对收敛和条件收敛 149
44 绝对收敛的判别法 153
45 条件收敛的判别法 157
46 一致收敛 159
47 无穷级数的微分和积分 162
48 关于连续变量的一致收敛, 积分符号下的微分和积分 167
49 二重数列 177
50 二重级数 179
51 无穷积 184
52 幂级数 188
53 指数函数和三角函数 196
54 指数函数和三角函数的关系,对数函数和反三角函数 201
习题 207
第5 章 解析函数及初等函数 209
55 解析函数 209
56 积分 212
57 柯西积分定理 217
58 柯西积分公式, 解析函数的泰勒展开 222
59 解析函数的孤立奇点 226
60 z = 1 处的解析函数 230
61 整函数 231
62 定积分计算(实变量) 232
63 解析延拓 238
64 指数函数和三角函数 241
65 对数ln z 和一般幂z? 249
66 有理函数的积分理论 254
67 二次平方根的不定积分 258
68 ? 函数 260
69 斯特林公式 270
习题 276
第6 章 傅里叶展开 282
70 傅里叶级数 282
71 正交函数系 283
72 任意函数系的正交化 284
73 正交函数列表示的傅里叶展开 286
74 傅里叶级数累加平均求和法(费耶定理) 289
75 光滑周期函数的傅里叶展开 291
76 非连续函数的情况 292
77 傅里叶级数的例子 295
78 魏尔斯特拉斯定理 298
79 积分第二中值定理 301
80 关于傅里叶级数的狄利克雷{若尔当条件 303
81 傅里叶积分公式 306
习题 308
第7 章 微分续篇(隐函数) 309
82 隐函数 309
83 反函数 314
84 映射 317
85 对解析函数的应用 321
86 曲线方程 326
87 曲面方程 331
88 包络线 334
89 隐函数的极值 336
习题 339
第8 章 多变量积分 342
90 二元以上的定积分 342
91 面积的定义和体积的定义 343
92 一般区域上的积分 348
93 化简成一元积分 351
94 积分意义的扩展(广义积分) 357
95 多变量定积分表示的函数 364
96 变量变换 366
97 曲面面积 377
98 曲线坐标(体积、曲面积和弧长等的变形) 384
99 正交坐标 391
100 面积分 395
101 向量记号 397
102 高斯定理 399
103 斯托克斯定理 406
104 全微分条件 409
习题 413
第9 章 勒贝格积分 416
105 集合运算 416
106 加法集合类(? 系) 419
107 M 函数 420
108 集合的测度 424
109 积分 427
110 积分的性质 430
111 可加集合函数 438
112 绝对连续性和奇异性 441
113 欧式空间和区间的体积 444
114 勒贝格测度 446
115 零集合 451
116 开集合和闭集合 453
117 博雷尔集合 456
118 积分表示的集合测度 458
119 累次积分 463
120 与黎曼积分的比较 464
121 斯蒂尔切斯积分 466
122 微分定义 468
123 Vitali 覆盖定理 470
124 可加集合函数的微分 472
125 不定积分的微分 476
126 有界变差和绝对连续的点函数 477
附录I 无理数论 480
1 有理数分割 480
2 实数的大小 481
3 实数的连续性 482
4 加法 483
5 绝对值 485
6 极限 485
7 乘法 486
8 幂和幂根 488
9 实数集合的一个性质 488
10 复数 489
附录II 若干特殊曲线 491
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读书文摘
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