算术研究

非凡的阅读从影响每一代学人的知识名著开始

自序

导读：高斯——离群索居的王子

第1章 同余数概论（第1～12条）

第1节 同余的数，模，剩余和非剩余

第2节 最小剩余

第3节 关于同余的基本定理

第4节 一些应用

第2章 一次同余方程（第13～44条）

第1节 关于质数、因数等的初步定理

第2节 解一次同余方程

第3节 对于给定模求与给定剩余同余的数的方法

第4节 多元线性同余方程组

第5节 一些定理

第3章 幂剩余（第45～93条）

第1节 首项为1的几何数列各项的剩余构成周期序列

第2节 对于模p（质数），数列周期的项数是数p-1的因数

第3节 费马定理

第4节 有多少数对应于某个项数为p-1的因数的周期

第5节 原根，基和指标

第6节 指标的运算

第7节 同余方程xn≡A的根

第8节 不同系统的指标间的关系

第9节 适合特殊目的的基数

第10节 求原根的方法

第11节 关于周期和原根的几条定理

第12节 威尔逊定理

第13节 模是质数方幂

第14节 模为2的方幂

第4章 二次同余方程（第94～152条）

第1节 二次剩余和非剩余

第2节 当模是质数时，小于模的剩余的个数等于非剩余的个数

第3节 合数是不是给定质数的剩余或非剩余的问题，取决于它的因数的性质

第4节 合数模

第5节 给定的数是给定质数模的剩余或非剩余的一般判别法

第6节 给定的数作为剩余或非剩余的质数的研究

第7节 剩余为-1

第8节 剩余为＋2和-2

第9节 剩余为＋3和-3

第10节 剩余为＋5和-5

第11节 剩余为＋7和-7

第12节 为一般性讨论做的准备

第13节 通过归纳法发现的一般的（基本）定理及其推论

第14节 基本定理的严格证明

第15节 证明条目114的定理的类似的方法

第16节 一般问题的解法

第17节 以给定的数为其剩余或非剩余的所有质数的线性形式

第18节 其他数学家关于这些研究的著作

第19节 一般形式的二阶同余方程

第5章 二次型和二次不定方程（第153～307条）

第1节 型的定义和符号

第2节 数的表示：行列式

第3节 数M由型（a，b，c）表示时所属表达式（mod M）的值)

第4节 正常等价与反常等价

第5节 相反的型

第6节 相邻的型

第7节 型的系数的公约数

第8节 一个给定的型变换为另一个给定的型时所有可能的同型变换的关系

第9节 歧型

第10节 关于一个型既正常又反常地包含于另一个型的情况的定理系

第11节 关于由型表示数的一般性研究以及这些表示与代换的关系

第12节 行列式为负的型

第13节 特殊的应用：将一个数拆分成两个平方数，拆分成一个平方数和另一个平方数的两倍，拆分成一个平方数和另一个平方数的三倍

第14节 具有正的非平方数的行列式的型

第15节 行列式为平方数的型

第16节 包含在与之不等价的型中的型

第17节 行列式为0的型

第18节 所有二元二次不定方程的一般整数解

第19节 历史注释

第20节 将给定行列式的型进行分类

第21节 类划分为层

第22节 层划分为族

第23节 型的合成

第24节 层的合成

第25节 族的合成

第26节 类的合成

第27节 对于给定的行列式，在同一个层的每个族中存在相同个数的类

第28节 不同的层中各个族所含类的个数的比较

第29节 歧类的个数

第30节 对于给定的行列式，所有可能的特征有一半不属于任何正常原始族

第31节 对基本定理以及与剩余为-1，＋2，-2有关的其他定理的第2个证明

第32节 对不适合任何族的那一半特征的进一步讨论

第33节 把质数分解为两个平方数的特殊方法

第34节 关于三元型讨论的题外话

第35节 如何求出这样一个型，由它加倍可得到给定的属于主族的二元型

第36节 除了在条目263和264中已经证明其不可能的那些特征外，其他所有的特征都与某个族相对应

第37节 把数和二元型分解为三个平方数的理论

第38节 费马定理的证明：任何整数都能分解成三个三角数或者四个平方数

第39节 方程ax2＋by2＋cz2＝0的解

第40节 勒让德先生讨论基本定理的方法

第41节 由三元型表示零

第42节 二元二次不定方程的有理通解

第43节 族的平均个数

第44节 类的平均个数

第45节 正常原始类的特殊算法：正则和非正则行列式

第6章 前面讨论的若干应用（第308～334条）

第1节 将分数分解成更简单的分数

第2节 普通分数转换为十进制数

第3节 通过排除法求解同余方程

第4节 用排除法解不定方程mx2＋ny2＝A

第5节 当A是负数时，解同余方程x2≡A的另一种方法

第6节 将合数同质数区分开来并确定它们的因数的两种方法

第7章 分圆方程（第335～366条）

第1节 讨论把圆分成质数份的最简单情况

第2节 关于圆弧（它由整个圆周的一份或若干份组成）的三角函数的方程并化归为方程xn-1＝0的根

第3节 方程xn-1＝0的根的理论（假定n是质数）

第4节 以下讨论的目的之声明

第5节 Ω中所有的根可以分为某些类（周期）

第6节 关于这些周期的各种定理

第7节 由前面的讨论解方程X＝0

第8节 以n＝19为例，运算可以简化为求解两个三次方程和一个二次方程

第9节 以n＝17为例，运算可以简化为求解四个二次方程

第10节 关于根的周期的进一步讨论——有偶数个项的和是实数

第11节 关于根的周期的进一步讨论——把Ω中的根分成两个周期的方程

第12节 证明第4章中提到的一个定理

第13节 把Ω中的根分成三个周期的方程

第14节 把求Ω中根的方程化为最简方程

第15节 以上研究在三角函数中的应用——求对应于Ω中每个根的角的方法

第16节 以上研究在三角函数中的应用——不用除法从正弦和余弦导出正切、余切、正割以及余割

第17节 以上研究在三角函数中的应用——对三角函数逐次降低次数的方法

第18节 以上研究在三角函数中的应用——通过解二次方程或者尺规作图能够实现的圆周的等分

附注

附表

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