线性代数及其应用

第1章 预备知识

线性空间和同构

子空间

线性相关

基和维数

商空间

第2章 对偶

线性函数

线性空间的对偶

零化子

余维数

求积公式

第3章 线性空间

域空间与目标空间

零空间与值域

基本定理

线性方程亚定组

插值

差分方程

线性映射的代数

转置

零空间与值域的维数

相似

投射

第4章 矩阵

行和列

矩阵乘法

转置

秩

高斯消元法

第5章 行列式和迹

有序单形

带符号的体积

置换群

行列式公式

乘法性质

拉普拉斯展开

克拉默法则

迹

第6章 谱理论

线性映射的迭代

本征值与本征向量

斐波那契序列

本征多项式

再谈迹与行列式

谱映射定理

凯莱-哈密顿定理

广义本征向量

谱定理

极小多项式

矩阵何时相似？

交换映射

第7章 欧几里得结构

标量积与距离

施瓦茨不等式

标准正交基

格拉姆-施密特方法

正交补

正交投影

伴随

超定方程组

等距映射

正交群

线性映射的范数

完备性与局部紧致性

复欧几里得空间

谱半径

希尔伯特-施密特范数

向量积

第8章 欧几里得空间自伴随映射的谱理论

二次型

惯性律

谱分解

交换映射

反自伴随映射

正规映射

瑞利商

最小最大原理

范数和本征值

第9章 向量值函数、矩阵值函数的微积分学

依范数收敛

求导法则

det A($t$)的导数

矩阵幂

单本征值

多重本征值

雷利希定理

错开交叉

第10章 矩阵不等式

正定的自伴随矩阵

单调矩阵函数

格拉姆矩阵

舒尔定理

正定矩阵的行列式

行列式积分公式

本征值

分隔本征值

维兰德-霍夫曼定理

最小、最大本征值

自伴随部分正定的矩阵

极分解

奇异值

奇异值分解

第11章 运动学与动力学

旋转轴、转角

刚体运动

角速度向量

流体运动

旋度与散度

小幅振动

能量守恒

简正振型与固有频率

第12章 凸集

凸集

度规函数

哈恩-巴拿赫定理

支撑函数

卡拉泰奥多里定理

寇尼希-伯克霍夫定理

黑利定理

第13章 对偶定理

法卡斯-闵可夫斯基定理

对偶定理

经济学上的解释

最小最大定理

第14章 赋范线性空间

范数

lp范数

范数的等价性

完备性

局部紧致性

里斯定理

对偶范数

向量到子空间的距离

赋范商空间

复赋范线性空间

复哈恩-巴拿赫定理

欧几里得空间的特征

第15章 赋范线性空间之间的线性映射

线性映射的范数

转置映射的范数

映射的赋范代数

可逆映射

谱半径

第16章 正矩阵

佩龙定理

随机矩阵

弗罗贝尼乌斯定理

第17章 怎样解线性方程组

历史回顾

条件数

迭代法

最速下降法

基于切比雪夫多项式的迭代法

基于切比雪夫多项式的三项迭代法

优化的三项递推法

收敛速度

第18章 如何计算自伴随矩阵的本征值

QR分解

利用QR分解求解方程组

求本征值的QR算法

基于豪斯霍尔德反射的QR分解

三对角矩阵

模拟QR算法的托达流

默泽尔定理

更一般的流

部分练习答案

参考文献

附录1 特殊行列式

附录2 普法夫多项式

附录3 辛矩阵

附录4 张量积

附录5 格

附录6 快速矩阵乘法

附录7 格希高瑞定理

附录8 本征值的重数

附录9 快速傅里叶变换

附录10 谱半径

附录11 洛伦兹群

附录12 单位球的紧致性

附录13 换位子的特征

附录14 李亚普诺夫定理

附录15 若当标准形

附录16 数值域

索引

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