泛函分析

绪论

第一章 距离空间

1.1 距离空间的基本概念

1.1.1 距离空间的定义

1.1.2 距离空间的例

1.1.3 距离空间中的收敛

1.2 开集和连续映射

1.2.1 开球、闭球

1.2.2 内点、开集、邻域

1.2.3 等价的距离、连续映射

1.3 闭集可分性列紧性

1.3.1 距离空间中的闭集

1.3.2 闭集的结构

1.3.3 可分的距离空间

1.3.4 列紧的距离空间

1.4 完备的距离空间

1.4.1 Cauclly列

1.4.2 完备的距离空间

1.4.3 完备与不完备距离空间的例

1.4.4 距离空间的完备化

1.5 完备距离空间的性质和一些应用

1.5.1 闭球套定理

1.5.2 压缩映射原理

1.5.3 压缩映射原理的应用

习题1

第二章 线性赋范空间

2.1 赋范空间的基本概念

2.1.1 赋范空间和Banach空间的定义

2.1.2 范数的连续性

2.1.3 范数与距离的关系

2.2 完备的赋范空间

2.2.1 连续函数上定义的不同范数

2.2.2 赋范空间的完备化

2.2.3 Lp空间

2.2.4 L空间

2.2.5 Ip空间

2.3 赋范空间的几何结构

2.3.1 凸集

2.3.2 子空间

2.3.3 Riesz引理

2.4 有限维的赋范空间

2.4.1 等价的范数

2.4.2 有限维空间

2.4.3 有限维赋范空间的几何特征

2.5 赋范空间的进一步性质

2.5.1 赋范空间中的级数

2.5.2 赋范空间的商空间

2.5.3 赋范空间的乘积空间

习题2

第三章 内积空间与Hilbert空间

3.1 内积空间的基本性质

3.1.1 内积空间的定义

3.1.2 由内积生成的范数

3.1.3 内积和相应范数的关系

3.1.4 完备的内积空间

3.2 正交与正交分解

3.2.1 正交的定义

3.2.2 正交补集

3.2.3 最佳逼近

3.2.4 Hilbert空间的正交分解

3.3 正交系和正交基

3.3.1 内积空间中的正交系

3.3.2 正交投影

3.3.3 正交基

3.4 Bessel不等式和正交列的完备性

3.4.1 Bessel不等式

3.4.2 正交列的完备性

3.4.3 标准正交基的例

3.5 可分的Hilbert空间

3.5.1 线性无关组的正交化算法

3.5.2 可分的Hilbert空间与l2等距同构

习题3

第四章 有界线性算子

4.1 有界线性算子与有界线性泛函

.4.1.1 有界线性算子与有界线性泛函的定义

4.1.2 有界线性算子组成的赋范空间

4.1.3 有界线性算子的例

4.1.4 有界线性算子范数的计算

4.2 有界线性算子空间的收敛与完备

4.2.1 有界线性算子空间中的收敛性

4.2.2 有界线性算子空间的完备性

4.3 一致有界原则

4.3.1 Baire纲定理

4.3.2 一致有界原则

4.3.3 强收敛意义下的完备性

4.3.4 共鸣定理的应用

4.4 开映射定理与逆算子定理

4.4.1 逆算子

4.4.2 开映射定理

4.4.3 逆算子定理

4.5 闭算子与闭图像定理

4.5.1 闭算子的定义

4.5.2 闭算子的例

4.5.3 闭图像定理

习题4

第五章 共轭空间和共轭算子

5.1 Hahn-Banach定理

5.1.1 Hahn-Banach定理

5.1.2 Hahn-Banach定理的推论

5.1.3 线性泛函和闭集分离

5.2 共轭空间

5.2.1 共轭空间的概念

5.3 Hilbert空间的共轭空间共轭算子

5.3.1 Riesz表示定理

5.3.2 Hilbert空间的共轭空间

5.3.3 Hilbert空间上的共轭算子

5.4 自共轭的有界线性算子

5.4.1 有界自共轭算子的定义、例

5.4.2 自共轭算子的性质

5.4.3 Cartesian分解

5.5 Banach空间上的共轭算子弱收敛

5.5.1 Banach空间上的共轭算子

5.5.2 自反性

5.5.3 弱收敛

5.5.4 一些具体空间中的弱收敛

习题5

第六章 线性算子的谱理论

第七章 紧线性算子的谱分解

附录

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