数学分析 (第一卷)(第7版)

《俄罗斯数学教材选译》序

中文版序言

第7版和第6版序言

第5版和第3版序言

第2版序言

第1版序言摘录

第一章 一些通用的数学概念与记号

§1. 逻辑符号

1. 联词与括号

2. 关于证明的附注

3. 某些专门记号

4. 最后的附注

习题

§2. 集合及其基本运算

1. 集合(集)的概念

2. 包含关系

3. 最简单的集合运算

习题

§3. 函数

1. 函数(映射)的概念

2. 映射的简单分类

3. 函数的复合与互逆映射

4. 作为关系的函数. 函数的图像

习题

§4. 某些补充

1. 集合的势(基数类)

2. 公理化集合论

3. 关于数学命题的结构及其集合论语言表述的附注

习题

第二章 实数

§1. 实数集的公理系统和某些一般性质

1. 实数集的定义

2. 实数的某些一般的代数性质

3. 完备性公理与数集的上确界(下确界)的存在性

§2. 最重要的实数类和实数运算方面的一些计算问题

1. 自然数与数学归纳原理

2. 有理数与无理数

3. 阿基米德原理

4. 实数集的几何解释与实数运算方面的一些计算问题

习题

§3. 关于实数集完备性的一些基本引理

1. 闭区间套引理(柯西–康托尔原理)

2. 有限覆盖引理(博雷尔–勒贝格原理)

3. 极限点引理(波尔查诺–魏尔斯特拉斯原理)

习题

§4. 可数集与不可数集

1. 可数集

2. 连续统的势

习题

第三章 极限

§1. 序列的极限

1. 定义和例子

2. 数列极限的性质

3. 数列极限的存在问题

4.级数的初步知识

习题

§2. 函数的极限

1. 定义和例子

2. 函数极限的性质

3. 函数极限的一般定义(基上的极限)

4. 函数极限的存在问题

习题

第四章 连续函数

§1. 基本定义和实例

1. 函数在一个点的连续性

2. 间断点

§2. 连续函数的性质

1. 局部性质

2. 连续函数的整体性质

习题

第五章 微分学

§1. 可微函数

1. 问题和引言

2. 在一点处可微的函数

3. 切线. 导数和微分的几何意义

4. 坐标系的作用

5. 例题

习题

§2. 基本的微分法则

1. 微分运算和算术运算

2. 复合函数的微分运算

3. 反函数的微分运算

4. 基本初等函数导数表

5. 最简单的隐函数的微分运算

6. 高阶导数

习题

§3. 微分学的基本定理

1. 费马引理和罗尔定理

2. 关于有限增量的拉格朗日定理和柯西定理

3. 泰勒公式

习题

§4. 用微分学方法研究函数

1. 函数单调的条件

2. 函数具有内极值点的条件

3. 函数凸的条件

4. 洛必达法则

5. 函数图像的画法

习题

§5. 复数. 初等函数之间的相互联系

1. 复数

2. C 中的收敛性与复数项级数

3. 欧拉公式以及初等函数之间的相互联系

4. 函数的幂级数表示和解析性

5. 复数域C 的代数封闭性

习题

§6. 微分学在自然科学问题中的应用实例

1. 变质量物体的运动

2. 气压公式

3. 放射性衰变、链式反应和原子反应堆

4. 大气中的落体

5. 再谈数e 和函数ex

6. 振动

习题

§7. 原函数

1. 原函数与不定积分

2. 求原函数的一些基本的一般方法

3. 有理函数的原函数

4. 形如∫R(cos x,sin x)dx 的原函数

5. 形如∫R(x,y(x))dx 的原函数

习题

第六章 积分

§1. 积分的定义和可积函数集的描述

1. 问题和启发性思考

2. 黎曼积分的定义

3. 可积函数集

习题

§2. 积分的线性、可加性和单调性

1. 积分是空间R[a,b]上的线性函数

2. 积分是积分区间的可加函数

3. 积分的估计,积分的单调性,中值定理

习题

§3. 积分与导数

1. 积分与原函数

2. 牛顿–莱布尼茨公式

3. 定积分的分部积分法和泰勒公式

4. 定积分中的变量代换

5. 例题

习题

§4. 积分的一些应用

1. 有向区间的可加函数与积分

2. 道路的长度

3. 曲边梯形的面积

4. 旋转体的体积

5. 功与能

习题

§5. 反常积分

1. 反常积分的定义、例题和基本性质

2. 对反常积分收敛性的研究

3. 具有多个奇异点的反常积分

习题

第七章 多元函数及其极限与连续性

§1. 空间Rm和它的重要子空间

1. 集合Rm和其中的距离

2. Rm中的开集与闭集

3. Rm中的紧集

习题

§2. 多元函数的极限与连续性

1. 函数的极限

2. 多元函数的连续性和连续函数的性质

习题

第八章 多元函数微分学

§1. Rm 中的向量结构

1. Rm 是向量空间

2. 线性映射L:Rm→Rn

3. Rm 中的范数

4. Rm 中的欧几里得结构

§2. 多元函数的微分

1. 多元函数在一点的可微性及其微分

2. 实值函数的微分与偏导数

3. 映射微分的坐标形式.雅可比矩阵

4. 函数在一点的连续性、偏导数和可微性

§3. 基本微分法则

1. 微分运算的线性性质

2. 复合映射的微分运算

3. 逆映射的微分运算

习题

§4. 多元实值函数微分学的基本内容

1. 中值定理

2. 多元函数可微性的充分条件

3. 高阶偏导数

4. 泰勒公式

5. 多元函数的极值

6. 与多元函数有关的某些几何概念

习题

§5. 隐函数定理

1. 问题的提法与启发性思考

2. 隐函数定理的最简单情形

3. 向依赖关系F(x1,• • • ,xm,y)= 0的推广

4. 隐函数定理

习题

§6. 隐函数定理的一些推论

1. 反函数定理

2. 光滑映射的局部正则形式

3. 函数的相关性

4. 局部分解微分同胚为最简微分同胚的复合

5. 莫尔斯引理

习题

§7. Rn中的曲面和条件极值理论

1. Rn中的k维曲面

2. 切空间

3. 条件极值

习题

单元测试题

考试大纲

附录一面向一年级学生的数学分析引言

附录二初论方程的数值解法

附录三初论勒让德变换

附录四初论黎曼{斯蒂尔切斯积分、函数和广义函数

附录五欧拉{麦克劳林公式

附录六再论隐函数定理

参考文献

名词索引

人名译名对照表

译后记

......(更多)