概率导论

第1章　样本空间与概率　　1

1.1　集合　　2

1.1.1　集合运算　　3

1.1.2　集合的代数　　4

1.2　概率模型　　4

1.2.1　样本空间和事件　　5

1.2.2　选择适当的样本空间　　5

1.2.3　序贯模型　　6

1.2.4　概率律　　7

1.2.5　离散模型　　8

1.2.6　连续模型　　10

1.2.7　概率律的性质　　11

1.2.8　模型和现实　　12

1.3　条件概率　　15

1.3.1　条件概率是一个概率律　　15

1.3.2　利用条件概率定义概率模型　　19

1.4　全概率定理和贝叶斯准则　　24

1.5　独立性　　30

1.5.1　条件独立　　32

1.5.2　一组事件的独立性　　34

1.5.3　可靠性　　36

1.5.4　独立试验和二项概率　　37

1.6　计数法　　39

1.6.1　计数准则　　39

1.6.2　n 选k 排列　　41

1.6.3　组合　　42

1.6.4　分割　　44

1.7　小结和讨论　　46

习题　　47

第2章　离散随机变量　　63

2.1　基本概念　　63

2.2　分布列　　65

2.2.1　伯努利随机变量　　67

2.2.2　二项随机变量　　67

2.2.3　几何随机变量　　68

2.2.4　泊松随机变量　　69

2.3　随机变量的函数　　70

2.4　期望、均值和方差　　71

2.4.1　方差、矩和随机变量的函数的期望规则　　73

2.4.2　均值和方差的性质　　76

2.4.3　某些常用的随机变量的均值和方差　　77

2.4.4　利用期望值进行决策　　80

2.5　多个随机变量的联合分布列　　81

2.5.1　多个随机变量的函数　　83

2.5.2　多于两个随机变量的情况　　84

2.6　条件　　86

2.6.1　某个事件发生的条件下的随机变量　　86

2.6.2　给定另一个随机变量的值的条件下的随机变量　　87

2.6.3　条件期望　　91

2.7　独立性　　96

2.7.1　随机变量与事件的相互独立性　　96

2.7.2　随机变量之间的相互独立性　　97

2.7.3　几个随机变量的相互独立性　　100

2.7.4　若干个相互独立的随机变量的和的方差　　101

2.8　小结和讨论　　103

习题　　105

第3章　一般随机变量　　122

3.1　连续随机变量和概率密度函数　　122

3.1.1　期望　　126

3.1.2　指数随机变量　　128

3.2　分布函数　　129

3.3　正态随机变量　　134

3.4　多个随机变量的联合概率密度　　139

3.4.1　联合分布函数　　142

3.4.2　期望　　143

3.4.3　多于两个随机变量的情况　　143

3.5　条件　　145

3.5.1　以事件为条件的随机变量　　145

3.5.2　一个随机变量对另一个随机变量的条件　　149

3.5.3　条件期望　　152

3.5.4　独立性　　154

3.6　连续贝叶斯准则　　157

3.6.1　关于离散随机变量的推断　　158

3.6.2　基于离散观察值的推断　　159

3.7　小结和讨论　　160

习题　　161

第4章　随机变量的深入内容　　176

4.1　随机变量函数的概率密度函数　　176

4.1.1　线性函数　　178

4.1.2　单调函数　　180

4.1.3　两个随机变量的函数　　183

4.1.4　独立随机变量和||卷积　　186

4.1.5　卷积的图像计算法　　189

4.2　协方差和相关　　190

4.3　再论条件期望和条件方差　　194

4.3.1　条件期望作为估计量　　197

4.3.2　条件方差　　197

4.4　矩母函数　　200

4.4.1　从矩母函数到矩　　203

4.4.2　矩母函数的可逆性　　205

4.4.3　独立随机变量和　　207

4.4.4　联合分布的矩母函数　　209

4.5　随机数个相互独立的随机变量之和　　210

4.6　小结和讨论　　214

习题　　214

第5章　极限理论　　228

5.1　马尔可夫和切比雪夫不等式　　229

5.2　弱大数定律　　232

5.3　依概率收敛　　234

5.4　中心极限定理　　236

5.4.1　基于中心极限定理的近似　　237

5.4.2　二项分布的棣莫弗{ 拉普拉斯近似　　240

5.5　强大数定律　　242

5.6　小结和讨论　　244

习题　　245

第6章　伯努利过程和泊松过程　　255

6.1　伯努利过程　　256

6.1.1　独立性和无记忆性　　257

6.1.2　相邻到达间隔时间　　260

6.1.3　第k 次到达的时间　　261

6.1.4　伯努利过程的分裂与合并　　262

6.1.5　二项分布的泊松近似　　263

6.2　泊松过程　　266

6.2.1　区间内到达的次数　　268

6.2.2　独立性和无记忆性　　270

6.2.3　相邻到达时间　　271

6.2.4　第k次到达的时间　　272

6.2.5　泊松过程的分裂与合并　　274

6.2.6　伯努利过程和泊松过程,随机变量之和　　276

6.2.7　随机插入的悖论　　277

6.3　小结和讨论　　279

习题　　280

第7章　马尔可夫链　　290

7.1　离散时间的马尔可夫链　　290

7.1.1　路径的概率　　293

7.1.2　n步转移概率　　294

7.2　状态的分类　　297

7.3　稳态性质　　300

7.3.1　长期频率解释　　305

7.3.2　生灭过程　　307

7.4　吸收概率和吸收的期望时间　　310

7.4.1　平均吸收时间　　314

7.4.2　平均首访时间及回访时间　　315

7.5　连续时间的马尔可夫链　　316

7.5.1　利用离散时间马尔可夫链的近似　　319

7.5.2　稳态性质　　321

7.5.3　生灭过程　　323

7.6　小结和讨论　　324

习题　　325

第8章　贝叶斯统计推断　　348

8.1　贝叶斯推断与后验分布　　351

8.2　点估计, 假设检验, 最大后验概率准则　　358

8.2.1　点估计　　360

8.2.2　假设检验　　363

8.3　贝叶斯最小均方估计　　367

8.3.1　估计误差的一些性质　　372

8.3.2　多次观测和多参数情况　　373

8.4　贝叶斯线性最小均方估计　　374

8.4.1　一次观测的线性最小均方估计　　374

8.4.2　多次观测和多参数情形　　378

8.4.3　线性估计和正态模型　　379

8.4.4　线性估计的变量选择　　379

8.5　小结和讨论　　380

习题　　380

第9章　经典统计推断　　390

9.1　经典参数估计　　391

9.1.1　估计量的性质　　392

9.1.2　最大似然估计　　393

9.1.3　随机变量均值和方差的估计　　396

9.1.4　置信区间　　399

9.1.5　基于方差近似估计量的置信区间　　400

9.2　线性回归　　405

9.2.1　最小二乘公式的合理性　　407

9.2.2　贝叶斯线性回归　　408

9.2.3　多元线性回归　　410

9.2.4　非线性回归　　411

9.2.5　实际中的考虑　　412

9.3　简单假设检验　　412

9.4　显著性检验　　422

9.4.1　一般方法　　423

9.4.2　广义似然比和拟合优度检验　　428

9.5　小结和讨论　　431

习题　　432

索引　　443

附表　　448

标准正态分布表　　450

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