纯数学教程

第1章 实变量 1

有理数 1

用直线上的点表示有理数 1

无理数 2

无理数(续) 6

无理数(续) 7

无理数(续) 9

无理数(续) 10

实数 11

实数之间的大小关系 12

实数的代数运算 13

实数的代数运算(续) 15

数sqrt 2 15

二次根式 16

关于二次根式的某些定理 17

连续统 20

连续的实变量 22

实数的分割 22

极限点 24

Weierstrass定理 25

第1章 杂例 26

第2章 实变函数 35

函数的概念 35

函数的图形表示 37

极坐标 39

函数和它们的图的表示的进一步 的例子 39

有理函数 42

有理函数(续) 43

显式代数函数 44

隐式代数函数 45

超越函数 47

其他的超越函数类 50

一元方程的图形解 52

二元函数及其图形表示 53

平面曲线 54

空间中的轨迹 55

第2章杂例 58

第3章 复数 63

沿直线和在平面上的位移 63

位移的等价与位移的数乘 64

位移的加法 65

位移的乘法 68

位移的乘法(续) 69

复数 70

复数(续) 72

方程 i ^2=-1 72

用i作乘法的几何解释 73

方程 z^2+1=0,az^2+2bz+c =0 73

Argand图 75

De Moivre定理 76

几个关于复数的有理函数的定理 78

复数的根 89

方程 z^n=a 的解 90

De Moivre定理的一般形式 92

第3章杂例 92

第4章 正整变量函数的极限 99

一个正整变量的函数 99

插值 100

有限类和无限类 101

当 n 很大时 n 的函数所具有的性质 101

当 n 很大时 n 的函数所具有的性质(续) 102

习用语`` n 趋向无穷大'' 103

当 n 趋向无穷大时, n 的函数Φ( n) 的性状 104

当 n 趋向无穷大时, n 的函数phi(n) 的性状(续) 106

极限的定义 106

极限的定义(续) 107

极限的定义(续) 108

关于定义的几个要点 108

振荡函数 111

某些关于极限的一般性的定理 115

定理I的附属结果 116

B. 两个性状已知的函数的乘积之性状 117

C. 两个性状已知的函数的差以及商的性状 119

定理V 119

定理V(续) 120

以 n 为变量且与 n 一起递增的函数 121

对定理的说明 122

第19节中Weierstrass定理的另一证明 123

当 n 趋向∞ 时 x^n 的极限 124

( 1 +1/n)^n 的极限 127

某些代数引理 127

n( sqrt[n]x - 1) 的极限 129

无穷级数 130

关于无穷级数的一般性定理 132

无穷几何级数 133

用极限来表示一元连续实变函数 138

有界集合的界 140

有界函数的界 141

一个有界函数的不定元的极限 141

有界函数收敛的一般原理 143

无界函数 144

复函数以及复项级数的极限 145

定理的推广 146

z^n 当 n→∞ 时的极限, z 是任意的复数 147

当 bm z 为复数时的几何级数 1 + z + quad z^2 +cdots 148

符号 O,o,sim 149

第4章杂例 151

第5章 一个连续变量的函数之极限, 连续函数和不连续函数 159

x 趋向 ∞ 时的极限 159

当 x 趋向 -∞ 时的极限 161

与第 4 章第 63sim 69 节的结论相对应的定理 161

当 x 趋向 0 时的极限 161

当 x 趋向 a 时的极限 163

递增以及递减的函数 164

不定元的极限以及收敛原理 164

不定元的极限以及收敛原理(续) 166

符号 O,o,sim ：小量和大量的阶 169

一个实变量的连续函数 171

一个实变量的连续函数(续) 172

连续函数的基本性质 175

连续函数的进一步的性质 177

连续函数的取值范围 178

函数在区间中的振幅 179

第 103 节定理 2 的另外的 证明 180

直线上的区间集合, Heine-Borel 定理 181

连续函数的振幅 183

多元连续函数 184

隐函数 185

反函数 187

第5章杂例 189

第6章 导数和积分 193

导数或者微分系数 193

某些一般性的注解 194

某些一般性的注解(续) 197

微分法的某些一般法则 198

复函数的导数 200

微分学的记号 200

标准形式 202

有理函数 204

代数函数 206

超越函数 207

高阶导数 210

关于导数的某些一般性的 定理 213

极大和极小 215

极大和极小(续) 216

极大和极小(续) 217

中值定理 223

中值定理(续) 225

Cauchy中值定理 225

Darboux的一个定理 226

积分 226

实际的积分问题 228

多项式 229

有理函数 230

有理函数的实际积分法的 注记 233

代数函数 234

换元积分法和有理化积分法 234

与圆锥曲线有关的积分 235

积分∫dx /sqrt (ax^2 + 2bx + c) 236

积分∫（λx +μ ）/sqrt ( ax^2 + 2bx + c) d x 236

积分∫（λx +μ ）sqrt ( ax^2+2bx+c) d x ! 237

分部积分 237

一般的积分∫( x,y) d x , 其中 y^2 = ax^2 + 2bx + c 240

超越函数 243

以 x的倍数的余弦以及正弦为 变量的多项式 244

积分∫x^n cos x dx , ∫x^nsin xd x 以及与之相关联的积分 244

cos x 和sin x 的有理函数 245

包含arcsin x,arctan x 以及;log x 的积分 247

平面曲线的面积 248

平面曲线的长度 249

第6章杂例 252

第7章 微分学和积分学中另外一些定理 265

更高阶的中值定理 265

Taylor定理的另一形式 269

Taylor级数 271

Taylor定理的应用, A. 极大 与极小 273

B. 某些极限的计算 273

C. 平面曲线的切触 276

多元函数的微分法 280

二元函数微分法 282

二元函数的微分(续) 284

二元函数的中值定理 285

微分 287

定积分和面积 292

定积分 294

圆的扇形面积, 三角函数 295

由定积分的和式极限的定义计算 定积分 298

定积分的一般性质 299

分部积分法和换元积分法 303

用分部积分法证明Taylo 2 定理 306

余项的Cauchy形式对于二项 级数的应用 307

定积分的近似公式, Simpson 公式 308

单实变复函数的积分 310

第7章杂例 311

第8章 无穷级数和无穷积分的 收敛性 322

引言 322

正项级数 322

正项级数(续) 323

这些判别法的首批应用 323

比值判别法 323

一个重要定理 326

正项级数的乘法 327

进一步的收敛与发散判别法 328

Abel(或者Pringsheim)定理 329

Maclaurin(或者Cauchy)积分 判别法 330

级数∑n^-s 332

Cauchy并项判别法 334

进一步的比值判别法 334

无穷积分 335

Φ(x) 取正值的情形 337

换元积分法以及分部积分法对 无穷积分的应用 339

其他类型的无穷积分 342

其他类型的无穷积分(续) 344

在用变量代换法时需要小心 从事 348

有正负项的级数 349

绝对收敛的级数 350

Dirichlet定理对绝对收敛级数 的推广 351

条件收敛的级数 352

条件收敛级数的收敛判别法 352

交错级数 353

Abel收敛判别法与Dirichlet收敛判别法 356

复数项级数 358

幂级数 359

幂级数(续) 360

幂级数的收敛域, 收敛圆 360

幂级数的唯一性 362

级数的乘法 363

绝对收敛和条件收敛的无穷 积分 365

第8章 杂例 366

第9章 单实变对数函数、指数函数和三角函数 376

引言 376

log x 的定义 377

log x 所满足的函数方程 378

当 x 趋向无穷时log x 趋向无穷 的方式 379

当 x→∞ 时 x^ -alpha log x→0 的 证明 380

当 x→+ 0 时log x 的性状 380

无穷大的尺度, 对数尺度 380

数e 382

指数函数 383

指数函数的主要性质 384

一般的幂 a^x 385

e ^x 表示为极限 386

log x 表示成极限 388

常用对数 388

级数和积分收敛的对数 判别法 394

与指数函数以及对数函数有关 的级数, 用Taylor定理 展开e ^x 399

对数级数 402

反正切函数的级数 403

二项级数 406

建立指数函数和对数函数理论 的另一种方法 408

三角函数的解析理论 410

三角函数的解析理论(续) 412

由第225节的(1)以及第224 节的(4)得到 414

第9章杂例 415

第10章 对数函数、指数函数以及三角函数的一般理论 425

单复变函数 425

单复变函数(续) 426

实的和复的曲线积分 426

Logζ 的定义 427

mboxLogζ 的值 428

指数函数 432

expζ 的值 433

expζ 所满足的函数方程 433

一般的幂 a^ζ 434

a^ζ 的一般的值 435

正弦和余弦的指数的值 438

sin ζ和 cos ζ 对于 ζ 的所有值 的定义 438

推广的双曲函数 439

与cos(ξ+iη),sin(ξ+iη) 等有 关的公式 440

对数函数与反三角函数之间的 联系 443

exp z 的幂级数 445

cos z 和sin z 的幂级数 446

对数级数 448

对数级数(续) 449

对数级数的某些应用, 指数 极限 452

二项定理的一般形式 453

第10章杂例 456

附录1 H"o lder不等式和Minkowski不等式 465

附录2 每个方程都有一个根的证明 471

附录3 关于二重极限问题的一个注记 478

附录4 分析与几何中的无穷 481

索引

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