数学女孩5：伽罗瓦理论

序言

第1章　有趣的鬼脚图 1

1.1　 交错的鬼脚图 1

1.2　 溢出的鬼脚图 5

1.2.1　计算数量 5

1.2.2　尤里的疑问 7

1.3　 理所当然的鬼脚图 8

1.3.1　冰沙 8

1.3.2　无可替代之物 8

1.3.3　可以画出鬼脚图所有的排列模式吗？ 9

1.4　 有趣的鬼脚图 14

1.4.1　3 条竖线 14

1.4.2　鬼脚图的2 次方 16

1.4.3　鬼脚图的3 次方 18

1.4.4　绘图 20

1.4.5　解开深层谜题 23

第2章　睡美人的二次方程式 25

2.1　 2次方根 25

2.1.1　尤里 25

2.1.2　负数×负数 26

2.1.3　复数平面 27

2.2　 求根公式 29

2.2.1　二次方程式 29

2.2.2　方程式与多项式 31

2.2.3　推导二次方程式的求根公式 32

2.2.4　传达心情 36

2.3　 解与系数的关系 37

2.3.1　泰朵拉 37

2.3.2　解与系数的关系 37

2.3.3　整理思绪 41

2.4　 对称多项式与域的观点 42

2.4.1　米尔嘉 42

2.4.2　再探解与系数的关系 42

2.4.3　再探求根公式 49

2.4.4　回家的路上 56

第3章　探索形式 61

3.1　 正三角形 61

3.1.1　医院 61

3.1.2　再次发烧 70

3.1.3　梦的结局 71

3.2　 对称群的形式 73

3.2.1　阅览室 73

3.2.2　群公理 74

3.2.3　公理与定义 83

3.3　 循环群的形式 86

3.3.1　前往“加库拉” 86

3.3.2　结构 86

3.3.3　子群 87

3.3.4　基数 91

3.3.5　循环群 92

3.3.6　阿贝尔群 95

第4章　与你共轭 101

4.1　 阅览室 101

4.1.1　泰朵拉 101

4.1.2　因式分解 102

4.1.3　数的范围 104

4.1.4　多项式的除法 106

4.1.5　1 的12 次方根 108

4.1.6　正n边形 110

4.1.7　三角函数 111

4.1.8　出路 114

4.2　 循环群 115

4.2.1　米尔嘉 115

4.2.2　12 个复数 116

4.2.3　制作表格 118

4.2.4　共有顶点的正多边形 119

4.2.5　1 的原始12 次方根 122

4.2.6　分圆多项式 124

4.2.7　分圆方程式 130

4.2.8　与你共轭 132

4.2.9　循环群与生成元 133

4.3　 模拟考试 136

第5章　角的三等分 139

5.1　 图的世界 139

5.1.1　尤里 139

5.1.2　角的三等分问题 140

5.1.3　对于“角的三等分”问题的误解 144

5.1.4　尺子与圆规 145

5.1.5　可以作图的意义 147

5.2　 数的世界 148

5.2.1　具体例子 148

5.2.2　通过作图实现加减乘除运算 151

5.2.3　通过作图开根号 154

5.3　 三角函数的世界 158

5.3.1　双仓图书馆 158

5.3.2　理纱 159

5.3.3　离别之际 163

5.4　 方程式的世界 164

5.4.1　看穿结构 164

5.4.2　用有理数练习 169

5.4.3　一步的重复 172

5.4.4　能进入下一个步骤吗？ 173

5.4.5　发现了吗？ 176

5.4.6　预测与定理 178

5.4.7　出路在哪里？ 180

第6章　支撑天空之物 187

6.1　 维度 187

6.1.1　庙会 187

6.1.2　四维世界 188

6.1.3　章鱼烧 190

6.1.4　支撑之物 192

6.2　 线性空间 194

6.2.1　阅览室 194

6.2.2　坐标平面 196

6.2.3　线性空间 199

6.2.4　R上的线性空间C 202

6.2.5　Q上的线性空间Q(√2) 203

6.2.6　扩张的程度 208

6.3　 线性独立 212

6.3.1　线性独立 212

6.3.2　维度的不变性 216

6.3.3　扩张次数 217

第7章　拉格朗日预解式的秘密 221

7.1　 三次方程式的求根公式 221

7.1.1　泰朵拉 221

7.1.2　红色卡片：契尔恩豪森转换 222

7.1.3　橙色卡片：解与系数的关系 225

7.1.4　黄色卡片：拉格朗日预解式 227

7.1.5　绿色卡片：3 次方的和 231

7.1.6　蓝色卡片：3 次方的积 236

7.1.7　靛色的卡片：从系数到解 238

7.1.8　紫色卡片：三次方程式的求根公式 243

7.1.9　描绘“旅行地图” 244

7.2　 拉格朗日预解式 248

7.2.1　米尔嘉 248

7.2.2　拉格朗日预解式的性质 253

7.2.3　能应用于其他例子吗？ 257

7.3　 二次方程式的求根公式 258

7.3.1　二次方程式的拉格朗日预解式 258

7.3.2　判别式 261

7.4　 五次方程式的求根公式 263

7.4.1　五次方程式是什么 263

7.4.2　“五”的意义 264

第8章　建造塔 267

8.1　 音乐 267

8.1.1　咖啡厅 267

8.1.2　邂逅 269

8.2　 讲课 270

8.2.1　阅览室 270

8.2.2　扩张次数 270

8.2.3　扩域与子域 271

8.2.4　Q(√2)/Q 273

8.2.5　出题 275

8.2.6　Q(√2,√3)/Q 276

8.2.7　扩张次数的积 279

8.2.8　(Q(√2+√3)/Q) 282

8.2.9　最小多项式 284

8.2.10 新发现？ 288

8.3　 信 293

8.3.1　归途 293

8.3.2　家 294

8.3.3　信 295

8.3.4　规矩数 295

8.3.5　晚餐 297

8.3.6　朝着方程式的可解性前进 298

8.3.7　最小分裂域 300

8.3.8　正规扩张 300

8.3.9　面对真实的对象 303

第9章　心情的形式 307

9.1　 对称群S3 的形式 307

9.1.1　双仓图书馆 307

9.1.2　类别 313

9.1.3　陪集 317

9.1.4　整齐的形式 319

9.1.5　制作群 322

9.2　 写法的形式 329

9.2.1　Oxygen 329

9.2.2　置换的写法 330

9.2.3　拉格朗日定理 332

9.2.4　正规子群的写法 337

9.3　 部分的形式 337

9.3.1　孤零零的∛2 337

9.3.2　探索结构 338

9.3.3　伽罗瓦的正规分解 339

9.3.4　进一步除以C3 340

9.3.5　除法与同等看待 344

9.4　 对称群S4 的形式 348

9.5　 心情的形式 351

9.5.1　Iodine 351

9.5.2　熄灯时间 352

第10章 伽罗瓦理论 355

10.1　 伽罗瓦节 355

10.1.1 简略年表 355

10.1.2 第一论文 358

10.2　 定义 361

10.2.1 定义（可约与既约） 361

10.2.2 定义（置换群） 364

10.2.3 两个世界 366

10.3　 引理 367

10.3.1 引理1（既约多项式的性质） 367

10.3.2 引理2（用根制作的V） 370

10.3.3 引理3（用V 表示根） 372

10.3.4 引理4 （V 的共轭） 374

10.4　 定理 378

10.4.1 定理1（“方程式的伽罗瓦群”的定义） 378

10.4.2 方程式x2 − 3x + 2 = 0的伽罗瓦群 380

10.4.3 方程式ax2 + bx + c = 0的伽罗瓦群 382

10.4.4 伽罗瓦群的制作方法 387

10.4.5 方程式x3 − 2x = 0的伽罗瓦群 390

10.4.6 定理2（缩小方程式的“伽罗瓦群”） 394

10.4.7 伽罗瓦的错误 398

10.4.8 定理3（添加辅助方程式的所有的根） 399

10.4.9 重复缩小 401

10.4.10 定理4（缩小的伽罗瓦群的性质） 403

10.5　 定理5（以代数方式解方程式的充分必要条件） 404

10.5.1 伽罗瓦提出的问题 404

10.5.2 何谓“以代数方式解方程式” 407

10.5.3 泰朵拉的问题 408

10.5.4　p次方根的添加 409

10.5.5　伽罗瓦的添加元素 413

10.5.6　手忙脚乱的尤里 418

10.6　 两座塔 418

10.6.1　三次方程式的一般形式 418

10.6.2　四次方程式的一般形式 420

10.6.3　二次方程式的一般形式 424

10.6.4　五次方程式不存在求根公式 426

10.7　 夏天结束 428

10.7.1　伽罗瓦理论的基本定理 428

10.7.2　展览 432

10.7.3　夜晚的Oxygen 432

10.7.4　无可替代之物 434

尾声 437

后记 444

参考文献和导读 447

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