用数学的语言看世界（增订版）

第 1 章 从不确定的信息中作出判断..............................................1

序 欧·杰·辛普森审判与德肖维茨教授的辩护主张 ..................1

1 先来掷骰子 .......................................................................3

2 打赌不输的诀窍 ................................................................4

3 条件概率与贝叶斯定理 ......................................................8

4 乳腺癌检查是否没有意义？ .............................................. 10

5 用数学来学习“经验” ....................................................... 13

6 核电站重大事故再次发生的概率 ....................................... 14

7 欧·杰·辛普森真的杀害了妻子吗？ ................................ 18

第 2 章 回归基本原理 ................................................................ 21

序 创新与创造的必要条件 .................................................... 21

1 加法、乘法与运算三定律 ................................................. 22

2 减法与 0 的发现 ............................................................... 25

3 (−1)×(−1) 为何等于 1 ？ ................................................ 29

4 分数与无限分割 .............................................................. 32

5 假分数 → 带分数 → 连分数 ............................................... 33

6 用连分数制定历法 ........................................................... 35

7 过去不被认可的无理数 .................................................... 37

8 二次方程的华丽历史 ........................................................ 42

第 3 章 大数并不恐怖 ................................................................ 49

序 最初的原子弹爆炸实验与“费米问题” ............................... 49

1 大气中的二氧化碳究竟增加了多少 .................................... 51

1.1　人类消耗了多少热量 ................................................ 51

1.2　人类排放了多少二氧化碳 ......................................... 52

2 遇到大数不必慌张 ........................................................... 53

3 让天文学家寿命倍增的秘密武器 ....................................... 56

4 复利最大化的存款方法 .................................................... 59

5 让银行存款翻倍需要多少年 .............................................. 61

6 用对数透视自然法则 ........................................................ 64

第 4 章 不可思议的素数 ............................................................. 69

序 纯粹数学的精华 .............................................................. 69

1 埃拉托斯特尼筛法与素数的发现 ....................................... 72

2 素数有无穷个 ................................................................. 74

3 素数的分布存在规律 ........................................................ 77

4 用“帕斯卡三角形”判定素数 ............................................ 79

5 通过费马素性检验就是素数？ .......................................... 82

6 保护通信秘密的“公钥密码” ............................................. 85

7 公钥密码的钥匙：欧拉定理 .............................................. 87

8 信用卡卡号 SSL 传输的原理 ............................................. 90

第 5 章 无限世界与不完备性定理 ............................................... 97

序 欢迎来到加州旅馆！ ........................................................ 97

1 1 = 0.99999 ... 让人难以接受？ ...................................... 107

2 阿喀琉斯永远追不上乌龟？ ............................................ 110

3 “我正在说谎” ............................................................... 112

4 “不在场证明”与“反证法” ............................................. 114

5 哥德尔不完备性定理 ...................................................... 115

第 6 章 测量宇宙的形状 ........................................................... 121

序 古希腊人如何测量地球周长？ ........................................ 121

1 基础中的基础，三角形的性质 ........................................ 125

1.1　证明三角形内角和为 180° ..................................... 127

1.2　让人终生难忘的“勾股定理”证明 ............................ 130

2 笛卡儿坐标与划时代的创想 ............................................ 134

3 六维、九维、十维 ......................................................... 138

4 欧几里得公理不成立的世界 ............................................ 140

5 唯独平行公理不成立的世界 ............................................ 142

6 不用外部观测即可得知形状的“神奇定理” ....................... 145

7 画一个边长为 100 亿光年的三角形................................... 148

第 7 章 微分源于积分 .............................................................. 153

序 来自阿基米德的书信 ...................................................... 153

1 为何先从积分开始？ ...................................................... 155

2 面积究竟如何计算 ......................................................... 156

3 任何形状都 OK，阿基米德的夹逼定理 ............................ 158

4 积分究竟计算什么 ......................................................... 160

5 积分与函数 ................................................................... 164

6 飞矢不动？ ................................................................... 167

7 微分是积分的逆运算 ...................................................... 169

8 指数函数的微分与积分 .................................................. 171

第 8 章 真实存在的“假想的数” ............................................... 175

序 假想的朋友，假想的数 .................................................. 175

1 平方为负的奇怪的数 ...................................................... 176

2 从一维的实数到二维的复数 ............................................ 179

3 复数的乘法运算“旋转与伸长” ....................................... 185

4 从加法导出的加法定理 .................................................. 189

5 用方程解决几何问题 ...................................................... 191

6 三角函数、指数函数与欧拉公式 ..................................... 195

第 9 章 测量“难”与“美” ........................................................ 201

序 伽罗瓦，20 年的生涯与不灭功绩..................................... 201

1 图形的对称性是什么 ...................................................... 206

2 “群”的发现 .................................................................. 210

3 二次方程求根公式的秘密 ............................................... 214

4 三次方程为何可解 ......................................................... 218

5 方程可解是什么意思 ...................................................... 224

6 五次方程与正二十面体 .................................................. 227

7 伽罗瓦最后的书信 ......................................................... 229

8 方程的“难度”与图形的“美” ......................................... 230

9 拥有第二个灵魂 ............................................................ 233

后记 ......................................................................................... 237

附录 补遗 .............................................................................. 241

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