几何与拓扑的概念导引

第 1 章 变换群与几何学 1

1.1 引言 1

1.2 仿射坐标变换 3

1.3 超平面 6

1.4 二次超曲面 8

1.5 仿射变换群 13

1.6 仿射几何学大意 19

1.7 等距变换群 21

1.8 体积问题 24

1.9 射影平面 27

1.10 射影变换 31

1.11 群在集合上的作用 35

第 2 章 微分流形 38

2.1 引言 38

2.2 R^n 中的映射的连续概念 39

2.3 R^n 中的映射的微分概念 43

2.4 隐函数定理 48

2.5 正则超曲面 52

2.6 微分流形 57

2.7 可微映射 64

2.8 切映射 66

2.9 子流形 71

2.10 单位分解 73

第 3 章 切丛与向量场 75

3.1 切丛与向量场的基本知识 75

3.2 相流 80

3.3 李导数与括号积 84

3.4 弗罗贝尼乌斯定理 89

第 4 章 微分形式 93

4.1 代数预备知识——对偶空间 93

4.2 余切空间 98

4.3 1 次微分形式 102

4.4 代数预备知识——外积 105

4.5 一般微分形式 109

4.6 外微分运算 112

4.7 链上的积分 117

4.8 斯托克斯公式 123

4.9 流形上的积分 125

4.10 应用——辛形式 129

第 5 章 李群 133

5.1 基本概念 133

5.2 若干重要的例子 140

5.3 李群的表示 144

5.4 李群 SU(2) 与 S0(3) 149

5.5 李群在流形上的作用 154

5.6 应用——力学中的对称性 158

第 6 章 微分几何的基本概念 160

6.1 曲率概念速成 160

6.2 联络与平行移动 165

6.3 黎曼流形的概念 172

6.4 黎曼流形上的相容联络 177

6.5 几点注释 183

6.6 纤维丛的概念 185

6.7 活动标架法 190

6.8 自然界中的联络 196

第 7 章 从微分流形看拓扑学 199

7.1 引言 199

7.2 德拉姆上同调 200

7.3 同伦 205

7.4 德拉姆上同调的同伦型不变性 211

7.5 计算方法——正合序列 214

7.6 同调群 218

7.7 德拉姆定理 226

7.8 庞加莱对偶、映射度、相交数 229

7.9 应用 237

7.10 再谈纤维丛 241

7.11 几点注释 245

第 8 章 代数曲线浅说 252

8.1 代数预备知识——极大理想与素理想 252

8.2 仿射代数簇 256

8.3 平面代数曲线 261

8.4 奇异点 264

8.5 射影代数簇 268

8.6 再谈平面代数曲线 272

8.7 黎曼曲面简介 276

8.8 几点注释 284

附录 291

参考文献 298

索引 300

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