哈代数论

目录

第1 章素数(1)　　 1

1.1 整除性　　 1

1.2 素数　　 2

1.3 算术基本定理的表述 　　 3

1.4 素数序列.　　 3

1.5 关于素数的某些问题5

1.6 若干记号　　 6

1.7 对数函数.　　 8

1.8 素数定理的表述　　 8

本章附注.　　 10

第2 章素数(2) 12

2.1 Euclid 第二定理的第一个证明　　 12

2.2 Euclid 方法的更进一步的推论　　 12

2.3 某种算术级数中的素数　　 13

2.4 Euclid 定理的第二个证明 　　 14

2.5 Fermat 数和Mersenne 数 　　 15

2.6 Euclid 定理的第三个证明　　 16

2.7 关于素数公式的进一步结果　　 17

2.8 关于素数的未解决的问题　　 19

2.9 整数模.　　 19

2.10 算术基本定理的证明　　 21

2.11 基本定理的另一个证明21

本章附注　　 21

第3 章Farey 数列和Minkowski定理　　 24

3.1 Farey 数列的定义和最简单的性质　　 24

3.2 两个特征性质的等价性　　 25

3.3 定理28 和定理29 的第一个证明　　 25

3.4 定理28 和定理29 的第二个证明　　 26

3.5 整数格点.　　 27

3.6 基本格的某些简单性质　　 28

3.7 定理28 和定理29 的第三个证明　　 29

3.8 连续统的Farey 分割 　　 30

3.9 Minkowski 的一个定理　　 31

3.10 Minkowski 定理的证明　　 32

3.11 定理37 的进一步拓展　　 34

本章附注　　 36

第4 章无理数　　38

4.1 概论　　 38

4.2 已知的无理数　　 38

4.3 Pythagoras 定理及其推广　　 39

4.4 基本定理在定理43?45 证明中的应用　　 41

4.5 历史杂谈.　　 41

4.6 p5 无理性的几何证明　　 43

4.7 更多的无理数　　 44

本章附注.　　 46

第5 章同余和剩余　　 47

5.1 最大公约数和最小公倍数　　 47

5.2 同余和剩余类　　 48

5.3 同余式的初等性质　　 49

5.4 线性同余式　　 49

5.5 Euler 函数á(m) 51

5.6 定理59 和定理61 对三角和的应用　　 53

5.7 一个一般性的原理 　　 56

5.8 正十七边形的构造　　 57

本章附注.　　 61

第6 章Fermat 定理及其推论　　 63

6.1 Fermat 定理　　 63

6.2 二项系数的某些性质　　 63

6.3 定理72 的第二个证明　　 65

6.4 定理22 的证明　　 66

6.5 二次剩余　　 67

6.6 定理79 的特例：Wilson定理　　 68

6.7 二次剩余和非剩余的初等性质　　 69

6.8 a (mod m) 的阶　　 71

6.9 Fermat 定理的逆定理　　 71

6.10 2p?1 ? 1 能否被p2 整除　　 73

6.11 Gauss 引理和2 的二次特征　　 73

6.12 二次互倒律　　 76

6.13 二次互倒律的证明　　 78

6.14 素数的判定 　　 79

6.15 Mersenne 数的因子; Euler 的一个定理　　 80

本章附注.　　81

第7 章同余式的一般性质　　 83

7.1 同余式的根　　 83

7.2 整多项式和恒等同余式　　 83

7.3 多项式(mod m) 的整除性　　 84

7.4 素数模同余式的根　　 85

7.5 一般定理的某些应用　　 86

7.6 Fermat 定理和Wilson 定理的Lagrange 证明　　 88

7.7 ￡12 (p ? 1)¤! 的剩余　　 89

7.8 Wolstenholme 的一个定理　　 90

7.9 von Staudt 定理　　 92

7.10 von Staudt 定理的证明　　 93

本章附　　95

第8 章复合模的同余式　　 96

8.1 线性同余式 　　 96

8.2 高次同余式　　 98

8.3 素数幂模的同余式　　 98

8.4 例子　　 99

8.5 Bauer 的恒等同余式　　 101

8.6 Bauer 的同余式：p = 2 的情形　　 102

8.7 Leudesdorf 的一个定理　　 103

8.8 Bauer 定理的进一步的推论　　 105

8.9 2p?1 和(p ? 1)! 关于模p2 的同余式　　 107

本章附注　　 109

第9 章用十进制小数表示数　　 110

9.1 与给定的数相伴的十进制小数　　 110

9.2 有限小数和循环小数　　 112

9.3 用其他进位制表示数　　 114

9.4 用小数定义无理数　　 115

9.5 整除性判别法　　 116

9.6 有最大周期的十进制小数　　 117

9.7 Bachet 的称重问题　　 118

9.8 Nim 博弈　　 120

9.9 缺失数字的整数 　　 122

9.10 测度为零的集合　　 123

9.11 缺失数字的十进制小数　　 124

9.12 正规数　　126

9.13 几乎所有的数都是正规数的证明　　 127

本章附注　　 130

第10 章连分数 　　 132

10.1 有限连分数　　 132

10.2 连分数的渐近分数 　　 133

10.3 有正的商的连分数　　 134

10.4 简单连分数　　 135

10.5 用简单连分数表示不可约有理分数　　 136

10.6 连分数算法和Euclid 算法　　 138

10.7 连分数与其渐近分数的差　　 140

10.8 无限简单连分数　　 141

10.9 用无限连分数表示无理数　　 142

10.10 一个引理　　 144

10.11 等价的数　　 145

10.12 周期连分数　　 147

10.13 某些特殊的二次根式　　 149

10.14 Fibonacci 数列和Lucas数列　　 151

10.15 用渐近分数作逼近 154

本章附注.　　 157

第11 章用有理数逼近无理数　　 158

11.1 问题的表述　　 158

11.2 问题的推广　　 159

11.3 Dirichlet 的一个论证方法　　 160

11.4 逼近的阶　　 161

11.5 代数数和超越数　　 162

11.6 超越数的存在性　　 163

11.7 Liouville 定理和超越数的构造　　 164

11.8 对任意无理数的最佳逼近的度量　　 166

11.9 有关连分数的渐近分数的另一个定理　　 168

11.10 具有有界商的连分数　　 169

11.11 有关逼近的进一步定理　　 172

11.12 联立逼近 　　 173

11.13 e 的超越性　　 174

11.14  的超越性　　 177

本章附注　　 180

第12 章k(1), k(i), k(?) 中的算术基本定理 　　 182

12.1 代数数和代数整数 　　 182

12.2 有理整数、Gauss 整数和k(?)中的整数 　　 182

12.3 Euclid 算法　　 183

12.4 Euclid 算法对k(1) 中的基本定理的应用　　 184

12.5 关于Euclid 算法和基本定理的历史注释　　 185

12.6 Gauss 整数的性质　　 186

12.7 k(i) 中的素元 　　 187

12.8 k(i) 中的算术基本定理　　 189

12.9 k(?) 中的整数　　 191

本章附注.　　 193

第13 章某些Diophantus方程　　 194

13.1 Fermat 大定理 　　 194

13.2 方程x2 + y2 = z2 　　 194

13.3 方程x4 + y4 = z4 　　 195

13.4 方程x3 + y3 = z3 　　 196

13.5 方程x3 + y3 = 3z3 　　 199

13.6 用有理数的三次幂之和表示有理数　　 201

13.7 方程x3 + y3 + z3 = t3 　　 203

本章附注.　　 205

第14 章二次域(1) 　　 208

14.1 代数数域 　　 208

14.2 代数数和代数整数; 本原多项式　　 209

14.3 一般的二次域k(pm) 　　 210

14.4 单位和素元.　　 211

14.5 k(p2) 中的单位　　 212

14.6 基本定理不成立的数域　　 214

14.7 复Euclid 域　　 215

14.8 实Euclid 域　　 217

14.9 实Euclid 域(续)　　 219

本章附注.　　 220

第15 章二次域(2) 　　 222

15.1 k(i) 中的素元 　　 222

15.2 k(i) 中的Fermat 定理 　　 223

15.3 k(?) 中的素元　　 224

15.4 k(p2) 和k(p5) 中的素元　　 225

15.5 Mersenne 数M4n+3 的素性的Lucas 判别法　　 227

15.6 关于二次域的算术的一般性注释　　 229

15.7 二次域中的理想　　 230

15.8 其他的域　　 233

本章附注.　　 234

第16 章算术函数á(n), 1(n),d(n), ?(n), r(n) 　　 235

16.1 函数á(n)　　 235

16.2 定理63 的进一步证明　　 236

16.3 M?obius 函数　　 236

16.4 M?obius 反转公式　　 237

16.5 进一步的反转公式　　 238

16.6 Ramanujan 和的估计　　 239

16.7 函数d(n) 和?k(n) 　　 241

16.8 完全数.　　 241

16.9 函数r(n) 　　 242

16.10 r(n) 公式的证明　　 244

本章附注.　　 245

第17 章算术函数的生成函数　　 246

17.1 由Dirichlet 级数生成算术函数　　 246

17.2 3 函数.　　 247

17.3 3(s) 在s ! 1 时的性状　　 248

17.4 Dirichlet 级数的乘法　　 249

17.5 某些特殊算术函数的生成函数　　 251

17.6 M?obius 公式的解析说明　　 253

17.7 函数¤(n)　　 255

17.8 生成函数的进一步的例子　　 257

17.9 r(n) 的生成函数　　 258

17.10 其他类型的生成函数　　 259

本章附注.　　 261

第18 章算术函数的阶　　 263

18.1 d(n) 的阶 　　 263

18.2 d(n) 的平均阶 　　 266

18.3 ?(n) 的阶 　　 268

18.4 á(n) 的阶　　 269

18.5 á(n) 的平均阶 　　 271

18.6 无平方因子数的个数　　 272

18.7 r(n) 的阶　　 273

本章附注.　　 274

第19 章分划.　　276

19.1 加性算术的一般问题　　 276

19.2 数的分划　　 276

19.3 p(n) 的生成函数　　 277

19.4 其他的生成函数　　 279

19.5 Euler 的两个定理 　　 280

19.6 进一步的代数恒等式　　 282

19.7 F(x) 的另一个公式　　 283

19.8 Jacobi 的一个定理 　　 284

19.9 Jacobi 恒等式的特例　　 286

19.10 定理353 的应用　　 288

19.11 定理358 的初等证明　　 288

19.12 p(n) 的同余性质　　 290

19.13 Rogers-Ramanujan 恒等式 　　 292

19.14 定理362 和定理363 的证明　　 294

19.15 Ramanujan 连分数　　 296

本章附注.　　 297

第20 章用两个或四个平方和表示数　　 300

20.1 Waring 问题：数g(k) 和G(k)　　 300

20.2 平方和.　　 301

20.3 定理366 的第二个证明　　 302

20.4 定理366 的第三个和第四个证明　　 303

20.5 四平方定理　　 304

20.6 四元数　　 　　 306

20.7 关于整四元数的预备定理　　 308

20.8 两个四元数的最高右公因子　　 309

20.9 素四元数和定理370 的证明　　 310

20.10 g(2) 和G(2) 的值 312

20.11 定理369 的第三个证明的引理　　 312

20.12 定理369 的第三个证明：表法个数　　 313

20.13 用多个平方和表示数　　 316

本章附注.　　 317

第21 章用立方数以及更高次幂表示数　　 320

21.1 四次幂　　 320

21.2 三次幂：G(3) 和g(3) 的存在性　　 321

21.3 g(3) 的界 　　 322

21.4 更高次幂 　　 323

21.5 g(k) 的一个下界　　 324

21.6 G(k) 的下界　　 324

21.7 受符号影响的和：数v(k) 　　 327

21.8 v(k) 的上界　　 329

21.9 Prouhet-Tarry 问题：数P(k; j)　　 330

21.10 对特殊的k 和j, P(k; j) 的估计　　 332

21.11 Diophantus 分析的进一步的问题　　 334

本章附注.　　 337

第22 章素数(3) 343

22.1 函数#(x) 和?(x) 343

22.2 #(x) 和?(x) 的阶为x 的证明　　 344

22.3 Bertrand 假设和一个关于素数的\公式" 　　 346

22.4 定理7 和定理9 的证明 　　 348

22.5 两个形式变换 　　 349

22.6 一个重要的和 　　 350

22.7 Pp?1 与Q(1 ? p?1) 　　 352

22.8 Mertens 定理　　 354

22.9 定理323 和定理328 的证明　　 356

22.10 n 的素因子个数　　 357

22.11 !(n) 和-(n) 的正规阶　　 358

22.12 关于圆整数的一个注解　　 361

22.13 d(n) 的正规阶　　 361

22.14 Selberg 定理　　 362

22.15 函数R(x) 和V (?) 　　 364

22.16 定理434、定理6 和定理8证明的完成　　 367

22.17 定理335 的证明　　 369

22.18 k 个素因子的乘积 　　 370

22.19 区间中的素数　　 372

22.20 关于素数对p; p + 2 的分布的一个猜想 　　 372

本章附注.　　 374

第23 章Kronecker 定理　　 377

23.1 一维的Kronecker 定理　　 377

23.2 一维定理的证明　　 378

23.3 反射光线的问题　　 380

23.4 一般定理的表述　　 382

23.5 定理的两种形式　　 383

23.6 一个例证　　 384

23.7 Lettenmeyer 给出的定理的证明　　 385

23.8 Estermann 给出的定理的证明　 386

23.9 Bohr 给出的定理的证明　　 388

23.10 一致分布 　　 390

本章附注.　　 391

第24 章数的几何　　 393

24.1 基本定理的导引和重新表述　　 393

24.2 简单的应用　　 394

24.3 定理448 的算术证明　　 396

24.4 最好的可能的不等式　　 397

24.5 关于?2 + ′2 的最好可能的不等式　　 398

24.6 关于j?′j 的最好可能的不等式.　　 400

24.7 关于非齐次型的一个定理　　 401

24.8 定理455 的算术证明　　 403

24.9 Tchebotaref 定理 　　 404

24.10 Minkowski 定理(定理446)的逆定理 405

本章附注　　 409

第25 章椭圆曲线　　 413

25.1 同余数问题　　 413

25.2 椭圆曲线的加法法则　　 414

25.3 定义椭圆曲线的其他方程　　 418

25.4 有限阶点　　 420

25.5 有理点组成的群　　 424

25.6 关于模p 的点群　　 430

25.7 椭圆曲线上的整点　　 430

25.8 椭圆曲线的L- 级数　　 433

25.9 有限阶点与模曲线　　 436

25.10 椭圆曲线与Fermat 大定理　　 439

本章附注　　 441

参考书目　　 445

附录.　　 449

特殊符号以及术语索引　　 452

常见人名对照表　　 455

总索引　　 457

《哈代数论(第6 版)》补遗　　 461

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